El teorema Gödel

Un cadáver, una habitación cerrada, dos sospechosos. No es el comienzo de una novela policiaca cuyo protagonista intenta demostrar que no existe el crimen perfecto, sino la metáfora elegida por el escritor Guillermo Martínez para explicar uno de los teoremas más profundos de la lógica. Antes de dedicarse por completo a la literatura, este argentino nacido en 1962 se doctoró en matemáticas y pasó dos años completando sus investigaciones en la Universidad de Oxford. Tres pasiones la escritura, la lógica y el encanto misterioso de los collegesque se entrelazarían años más tarde en su novela Los crímenes de Oxford, que posteriormente fue llevada al cine por Álex de la Iglesia. En la obra, el académico Arthur Sheldon y un estudiante estadounidense investigan una serie de asesinatos "imperceptibles", con la ayuda de los teoremas de Kurt Gödel y de la filosofía del lenguaje de Ludwig Wittgenstein.

En esta ocasión, el compañero de viaje para seducir al gran público con unos teoremas que han fascinado por igual a científicos y humanistas a lo largo de la segunda mitad del siglo XX no ha sido un personaje de ficción, sino el también matemático argentino Gustavo Piñeiro. Juntos han escrito Gödel para todos (Ediciones Destino, 2010), una obra que se plantea "como un juego por etapas, con la esperanza de que los lectores se desafíen a sí mismos a pulsar enter al final de cada capítulo para pasar al próximo nivel", dicen los autores. Como explican los expertos, mientras las sofisticadas matemáticas que subyacen a la teoría de la relatividad plantean una ruptura entre los libros de divulgación y los manuales técnicos, en el caso de los teoremas de Gödel es posible presentar una exposición a la vez rigurosa y accesible, que sólo requiere del lector que no haya olvidado sumar y multiplicar. Además, desde su blog (http://godelparatodos.blogspot.com), Martínez y Piñeiro responden regularmente a las dudas que les plantean los lectores.

Los matemáticos vivían en el optimismo de que lo verdadero es demostrable

Un crimen sin pruebas

Así que imaginen que en una habitación cerrada se comete un crimen y que, al llegar la policía, junto al cadáver hay dos sospechosos. Cada uno de ellos sabe toda la verdad sobre el asesinato: sabe si fue él o no fue él. Sin embargo, a menos que confiesen, los inspectores tendrán que encontrar huellas dactilares, restos de ADN o cualquier otra prueba secundaria que permita acusarlos ante un juez. Si esta búsqueda se demostrara inconcluyente, los sospechosos quedarían libres, pero la verdad de lo que sucedió en la sala seguiría estando ahí. Aunque la verdad existe, el método es insuficiente para alcanzarla. Lo sabían desde el principio los detectives y los arqueólogos, pero los matemáticos vivieron en el optimismo de que todo lo verdadero es demostrable, hasta la entrada en escena de un joven austriaco, en noviembre de 1930.

Los principales expertos en la lógica matemática se habían reunido en la ciudad alemana de Köenigsberg para discutir el estado de la disciplina. El propio Gödel había sido invitado a exponer los resultados de su tesis doctoral, que dejaban aún la puerta abierta a unas matemáticas todopoderosas. Sin embargo, en los meses transcurridos entre el inicio brillante de su carrera y el encuentro de Köenigsberg, Gödel había avanzado en sus investigaciones, hasta convencerse de que el sueño de los lógicos de su generación era imposible. Nada parecía indicarlo mientras pronunciaba su conferencia pero, en los últimos minutos de la mesa redonda que cerró el congreso al día siguiente, por fin se atrevió a anunciar que tenía ejemplos de "proposiciones verdaderas por su contenido que no podían demostrarse a partir de los axiomas".

Gödel dijo que hay proposiciones ciertas que no pueden ser probadas

Los teoremas de incompletitud

Como explican Martínez y Piñeiro, el edificio de las matemáticas descansa sobre un puñado de principios que se dan por sentados por su sencillez y utilidad: son los axiomas. A partir de ellos, el trabajo de los matemáticos consiste en deducir propiedades sobre los números, mediante un proceso riguroso que se conoce con el nombre de demostración. Por así decirlo, los axiomas son los personajes del relato, de modo que el éxito de la historia dependerá de cómo se elijan. Por un lado, no deben dar lugar a contradicciones, pues de nada servirán unos axiomas si de ellos se puede deducir al mismo tiempo que cero es igual a uno y distinto de uno. Tampoco es posible construir una teoría razonable si no somos capaces de distinguir los axiomas de otras afirmaciones, de saber lo que hay que demostrar y lo que puede suponerse.

Con estos ingredientes, explicados a través de ejemplos y de ejercicios, los autores de Gödel para todos están en condiciones de enunciar el teorema que el lógico austriaco comunicó discretamente a sus compañeros en la reunión de Köenigsberg. Dice que, sean cuales sean los axiomas que elijamos para hablar sobre los números, si estamos seguros de que son reconocibles y de que no dan lugar a contradicciones, entonces automáticamente existirá una propiedad que es verdadera, pero que no se puede demostrar a partir de ellos. Un crimen que los detectives nunca lograrán resolver. Como el teorema mostraba que ninguna colección de axiomas podía completar todas las verdades aritméticas, enseguida pasó a llamarse teorema de incompletitud.

Sólo John von Neumann pudo comprender lo que sugería Gödel

Para demostrarlo, Gödel modificó de manera ingeniosa la llamada paradoja del mentiroso, que se produce cuando alguien afirma "Yo siempre miento", pues si la persona miente, entonces dice la verdad, y si dice la verdad, entonces miente. Por esta razón, algunos de sus contemporáneos pensaron que las verdades indemostrables eran puramente anecdóticas. Sin embargo, el teorema de Gödel inspiraría a Alan Turing la creación de los primeros ordenadores teóricos.

Ochenta años después, unos párrafos bastan para explicar qué dicen sus teoremas, pero en su día sólo uno de los asistentes a la mesa redonda, el genial John von Neumann, pudo comprenderlos. Habría que esperar a que se publicaran varias obras de divulgación para que el teorema se incorporase al folklore matemático. Y lo hizo con tanta fuerza que, como señalan Martínez y Piñeiro, la incompletitud pasó a formar parte de ese extraño grupo de "palabras mágicas de la escena postmoderna como caos, fractal o indeterminación" que se asocian "a supuestas derrotas de la razón y al fin de la certidumbre en el terreno más exclusivo del pensamiento: el reino de las fórmulas exactas".

En uno de los capítulos de Gödel para todos, el lector comprobará con asombro las insensateces que, a cuenta del teorema de incompletitud, han escrito filósofos como Julia Kristeva, Jacques Lacan o Régis Debray. En sus manos quedará interpretarlas como una muestra más del peligro de hablar de lo que no se sabe o como la mejor evidencia de la misteriosa seducción de un resultado que, como dijo Von Neuman, "permanecerá visible en el espacio y en el tiempo".