Abel, la lotería, la bolsa y los lanzamientos de monedas

MANUEL DE LEÓN

El pasado 22 de mayo, un nutrido grupo de matemáticos se congregó en uno de los parques de la ciudad de Oslo alrededor de la estatua de Niels Henrik Abel, matemático noruego fallecido prematuramente en 1829 a la edad de 26 años, pobre y aquejado de tuberculosis, tras haber dado resultados gloriosos al álgebra moderna que hoy en día nos han permitido desarrollos tecnológicos insospechados en aquellos tiempos. ¿El motivo? Rendir tributo a Abel y a la vez, al matemático indio S. R. Srinivasa Varadhan, investigador del Courant Institute of Mathematical Sciences y galardonado con el Premio Abel 2007. Sabemos que no hay un premio Nobel de Matemáticas (existen muchas leyendas urbanas al respecto, pero probablemente la causa de ello es que las matemáticas no eran consideradas por Alfred Nobel como fuente de inventos), así que la Academia Noruega de Ciencias y Letras decidió conmemorar la memoria de Abel con un premio anual dotado con seis millones de coronas noruegas (aproximadamente, y dependiendo de las fluctuaciones del mercado, unos 750.000 euros). Según reza la nominación, el premio se le entregaba a Varadhan por “sus determinantes aportaciones a la Teoría de la Probabilidad y en particular, por haber creado una teoría unificada de las grandes desviaciones”.

Hagamos inteligible esta jerga matemática. La Teoría de las Probabilidades nos dice que si arrojamos una moneda al aire, la probabilidad de sacar cara es 1/2. Ahora usted puede repetir la jugada, y de nuevo la probabilidad de sacar cara será 1/2 (como la de sacar cruz), porque son sucesos aleatoriamente independientes y la probabilidad se calcula por la ley de Laplace: sucesos favorables (cara) dividido por sucesos posibles (cara y cruz). Eso es exactamente lo que ocurre con la Lotería Nacional, y en particular, con la Lotería de Navidad que cada diciembre moviliza a todos los españoles. En este último caso, tendremos que hacer una división algo más larga: en el sorteo extraordinario de Navidad se ponen en juego 185 series de 85.000 billetes, así que si jugamos un décimo de lotería, la probabilidad de que nos toque el premio mayor es de 1 entre 85.000. Realmente, no muy alta.

Volvamos a la moneda y repitamos el lanzamiento cientos de veces, miles de veces. Usted puede obtener sucesiones de la más diversa índole: CCCXCCXXXXCXCXCCC… y en cada secuencia, divide el número de caras por el número de lanzamientos. La Ley de los Grandes Números, descubierta por Jacob Bernoulli en el siglo XVIII, demuestra que el resultado medio de una larga secuencia de lanzamientos de moneda se aproxima normalmente al valor esperado, o sea, a 1/2. Pero a veces esto no es así y se producen fenómenos insospechados, llamados desviaciones. La ley de los grandes números establece que la probabilidad de una desviación por debajo de un cierto nivel tiende a cero. Es importante conocer con cuánta rapidez ocurre esto; pensemos por ejemplo en el problema de conocer qué reservas de capital se requieren para que la probabilidad de quiebra de una compañía de seguros se mantenga a un nivel aceptable. El gran mérito de

Varadhan fue descubrir los principios generales básicos.

Las aplicaciones de los resultados de Varadhan son muy amplias: la teoría cuántica de campos, física estadística, dinámica de poblaciones, econometría y finanzas, y la gestión del tráfico. De hecho, sus ideas ejercieron también una gran influencia sobre el análisis de los paseos aleatorios. Para explicarlo, usemos de nuevo una moneda. Usted tira una moneda al aire, si sale cruz, se mueve un paso a la derecha, si sala cara, un paso a la izquierda. ¿Dónde cree que estará usted cuando haya tirado 100 veces la moneda? Eso es un paseo aleatorio. Si repite el proceso muchas veces (las 100 tiradas) usted estará a veces muy lejos, y otras, muy cerca del punto inicial. Pero si lo hace muchísimas veces, en media usted volverá al punto inicial. Los paseos aleatorios modelan el llamado movimiento browniano (¿se ha fijado en el movimiento de las motas de polvo en un rayo de luz?), y esto está detrás de las teorías financieras que estudian la evolución de los precios del mercado de valores. Imagine que con la moneda usted pudiera conseguir que en vez de un paso, una acción subiera o bajara medio euro cada vez según saliera cara o cruz. Aunque la teoría tiene sus detractores, los economistas confían en que la eficiencia del mercado consigue que la teoría funcione. ¿Suerte? ¿Matemáticas?

A Varadhan no le tocó la lotería en 2007, su premio fue fruto de su talento natural, de sus años de formación como matemático, y de un trabajo intenso durante muchos años de su vida, trabajos que, según la citación del jurado, “tienen una gran fuerza conceptual y una belleza intemporal”. Es menos conocido, que el hijo mayor de Varadhan fue una de las víctimas del espantoso atentado de las Torres Gemelas del 11-S en 2001. Esto quizás nos sirva para reflexionar sobre esa fe ciega que a veces mostramos por lo que llamamos suerte. Así que hoy, 22 de diciembre, cuando usted compruebe si sus números han sido premiados, recuerde que su mejor lotería son la libertad y el conocimiento.

Manuel de León es matemático, profesor de investigación del CSIC

Ilustración de Javier Olivares