Por qué es más probable ganar algo con la Lotería del Niño que con la de Navidad

Regresé a la Dehesa de Campoamor (Alicante) procedente de Suecia a mediodía del día 5. Al poco de llegar, me dirigí, junto con mi hija Ruth y sus primos, a comprar un décimo de la Lotería del Niño. Soy científico, pero jamás me quedo sin comprar una participación para ese sorteo. Mi sobrino Mario, que va para matemático, se extrañó:

— ¿Por qué vas a comprar Lotería de Navidad? ¿No dicen los científicos que es imposible que te toque?

— Compraré Lotería del Niño, no es lo mismo —contesté—. Hay muchas más posibilidades en este caso.

Al existir 100 000 números en uno de los bombos del sorteo, la probabilidad de que te toque el Gordo de Navidad es de 0,00001, según la Teoría Analítica de la Probabilidad que el famoso astrónomo, físico y matemático francés Pierre-Simon Laplace planteó en el siglo XVIII.

Según la Regla de Laplace, cuando un experimento aleatorio es regular, es decir, que todos los sucesos elementales tienen la misma probabilidad de ocurrir o son equiprobables, para calcular la probabilidad de un suceso cualquiera A, basta contar y hacer el cociente entre el número de sucesos elementales que componen A (casos favorables) y el de sucesos elementales del espacio muestral (casos posibles).

Es decir, en el caso de mi décimo de la Lotería de Navidad, la Regla de Laplace me permite saber que P (probabilidad de que me toque) es igual a números que juego/números que hay en el bombo. En definitiva, P = 1/100 000, o sea, tengo una probabilidad de 0,00001 de ser agraciado con el premio Gordo. Viene a ser como si yo señalara una palabra al azar en uno de mis libros preferidos, El Hobbit, de J. R. R. Tolkien, que tiene unas 300 páginas y 100 000 palabras, y vosotros intentarais acertarla a la primera.

Os pondré otro ejemplo. Imaginad que voy a un campo de fútbol y os llamo por teléfono para preguntaros en cuál de las 100 000 localidades me he sentado. ¿Acertaríais el lugar exacto?

— Ni de broma —concluyó Mario con cierta pesadumbre—. ¿Y comprando más décimos tendrías más posibilidades de ganar?

— La probabilidad aumentaría, pero la esperanza matemática de la ganancia, es decir, la cantidad media de veces que se «espera» que ocurra un suceso (en este caso el dinero que esperamos ganar) bajaría.

En realidad, cuanto más compres, mayor es la esperanza de perder. Por eso funciona el juego.

Chicos, Loterías y Apuestas del Estado destina a premios solo el 70 % de lo que recauda, por lo que siempre tiene margen de beneficios. Además, Hacienda se queda con el 20 % de cada premio que supera los 2 500 euros.

Ya lo dijo el presidente estadounidense Thomas Jefferson: «El desconocimiento de las matemáticas convierte la lotería en un impuesto que recae solo en aquellos que quieren pagarlo de buena gana».

— Por cierto, la abuela compra todos los años el mismo número. Dice que algún día tocará. ¿Si haces eso se elevan tus posibilidades de ganar?

— No. Imagina que vas a jugar durante 60 sorteos seguidos. Pues bien, elijas la lista de 60 números que elijas (los números pueden ser los mismos o no y se entiende que el primer sorteo juegas al primer número de la lista, el segundo sorteo al segundo y así sucesivamente) la probabilidad de que te toque alguna de las 60 veces la lotería es siempre la misma: 1-(99999/100000)60=0,0005998.

Este número sale de lo siguiente. Si llamas A al suceso “te toca ALGUNA vez la lotería en esos años y con esos números concretos”, entonces el complementario (suceso contrario) de ese suceso es el suceso B “NUNCA te va a tocar”. La probabilidad de B es justamente (99999/100000)60 y al hacer complementario, se tiene que la p(A)=1-p(B) (la probabilidad de un suceso es siempre 1 menos la probabilidad de su complementario)

A alguien le tiene que tocar

La probabilidad de ganar el primer premio es la misma en la Lotería de Navidad que en la del Niño, 1 entre 100 000, pero hay dos diferencias significativas entre ambos sorteos.

Por un lado, los bombos del Sorteo de Navidad hay 100 000 números y 5 305 premios, distribuidos entre el Gordo, segundo, tercero, cuartos, quintos y pedreas. Por tanto, la probabilidad de ganar algo es del 5,305 %.

Sin embargo, en el Sorteo Extraordinario del Niño hay también 100 000 números, pero se reparten 7 813 premios, por lo que la probabilidad de ganar se eleva al 7,813 %.

También hay otra diferencia importante entre ambos sorteos. En el de Navidad solo existe el reintegro del primer premio, es decir, nos devuelven los 20 euros gastados si nuestro último número coincide con la última cifra del Gordo. Por el contrario, en el Sorteo del Niño hay tres reintegros en vez de uno, lo que triplica la probabilidad de que nos devuelvan el dinero.

Resumiendo: si compramos Lotería del Niño, tenemos en torno al 38 % de posibilidades de que nos toque algo o al menos de recuperar el dinero, un porcentaje que se reduce al 14 % si adquirimos un décimo de Navidad.

— Pues mi padre sí que compra Lotería de Navidad —repuso mi sobrino Mario, dispuesto a no dar su brazo a torcer—. Antes de seleccionar el número, encontró el resultado de los últimos sorteos de Navidad celebrados y observó que el Gordo ha caído en 63 ocasiones en un número comprendido entre el 0 y el 10 000, en 73 en un número entre el 10 001 y el 30 000, y en 69 en números comprendidos entre el 30 001 y el 99 999. También vio que los números terminados en cinco han tocado más veces que cualquier otro. Además, según me dijo, hay ciudades y administraciones que han sido mas agraciadas que otras. Supongo que tú habrás tenido en cuenta todos estos factores, ¿no?

— Mario, no hay números con más probabilidad de ser agraciados que otros, todos pueden ganar cualquiera de los premios. Así que da igual en qué cifra termine o por cuál empiece. Además, la probabilidad de que el Gordo toque en una administración u otra es directamente proporcional a los boletos que haya vendido cada una. Y si ha vendido muchos décimos de números diferentes, hay más posibilidades de que toque que si ha vendido muy pocos. Las administraciones más famosas son las que más décimos venden en España… por eso son frecuentemente agraciadas.

Lo mismo ocurre con las ciudades. Si en Madrid se venden más décimos que en Murcia, hay más posibilidades de que el Gordo caiga allí.

Pero una cosa debe quedar clara: todos estos factores no afectan en ningún caso a las posibilidades que tiene el comprador de que le toque. Si compras un décimo, da igual la ciudad, la administración o la terminación: tu probabilidad individual de que te toque el Gordo no cambia, es 0,00001.

Este artículo ha sido publicado originalmente en The Conversation