Infinitos infinitos

EL JUEGO DE LA CIENCIA // CARLO FRABETTI

* Escritor y matemático

El animado debate recientemente suscitado entre los lectores por El hotel de Hilbert viene a ilustrar una vez más la fisura, a menudo imperceptible (y por eso mismo más peligrosa), entre el lenguaje coloquial y el científico; fisura que se suele corresponder con un desajuste entre ciertos conceptos intuitivos, amplios e imprecisos, y las definiciones más rigurosas (y por eso mismo más restrictivas) que maneja la ciencia. Como señalaba hace poco Lozano Leyva en su excelente artículo El poder de la intuición (30-4-09), con frecuencia es la intuición la que les indica a los científicos las metas a alcanzar; pero el camino hacia esas metas han de hacerlo la reflexión y la experimentación. Y digo “hacia” y no “hasta” porque a veces el objetivo alcanzado es distinto del previsto; lo cual no significa que la intuición fuera errónea: para equivocarse hay que hacer antes una afirmación precisa, y la intuición bien entendida -bien utilizada- solo apunta, sugiere. Y una sugerencia interesante nunca es un error.

En 1638, Galileo se percató de algo que, por su misma obviedad, había pasado inadvertido: que los números naturales se pueden poner en correspondencia biunívoca con sus cuadrados: 1-1, 2-4, 3-9, 4-16... A cada número le corresponde un cuadrado y solo uno, y a cada cuadrado perfecto le corresponde un número natural y solo uno: el que multiplicado por sí mismo da ese cuadrado. Pero los cuadrados perfectos son un subconjunto del conjunto de los números naturales, por lo que la correspondencia biunívoca entre los naturales y sus cuadrados contradice el viejo y “evidente” axioma de que el todo es mayor que la parte. Esta y otras paradojas llevaron a los matemáticos a estudiar a fondo las características de los conjuntos infinitos, cuya definición técnica es la siguiente: un conjunto es finito si existe un número natural n tal que los elementos del conjunto pueden ponerse en correspondencia biunívoca con los números del 1 al n; si no existe un tal número, el conjunto es infinito.

A finales del siglo XIX, Georg Cantor conjeturó, a partir de la observación de Galileo, que todos los infinitos eran del mismo tamaño, es decir, que siempre se podía establecer una correspondencia biunívoca -como la de los números naturales y sus cuadrados- entre los elementos de dos conjuntos infinitos. Durante doce años intentó demostrar lo que le decía su intuición... y acabó demostrando justo lo contrario: hay infinitos de distintos tamaños. Una infinidad de ellos.