EL JUEGO DE LA CIENCIA // CARLO FRABETTI

*Escritor y matemático

En relación con la columna anterior (Semántica, semiótica y dialéctica), algunos lectores opinaron que la paradoja de la mutua subordinación entre semántica y semiótica no era una verdadera paradoja. Pero ¿hay paradojas verdaderas? Consideremos la más famosa de ellas, la del mentiroso. ¿Es una paradoja que un cretense diga que los cretenses mienten siempre, o es sencillamente una afirmación falsa, ni más ni menos que si dijera que los cretenses tienen alas? El efecto paradoja aparece al considerar la posibilidad de que la afirmación sea cierta, como hace san Pablo en su epístola a Tito: “Certero es el testimonio de uno de ellos, que dijo que los cretenses mienten siempre”; si la afirmación es cierta, entonces es falsa; pero la paradoja se resuelve al comprender que, en este caso, el que hace una afirmación falsa es san Pablo.

En un pueblo hay un barbero que afeita a todos los lugareños que no se afeitan a sí mismos; ¿se afeita o no se afeita a sí mismo? Es la famosa paradoja del barbero, popularizada por Bertrand Russell. Pero si dijéramos que en un pueblo hay un abstemio que bebe mucho vino, sería simplemente una afirmación absurda, sin el menor efecto paradoja. Y sin embargo ambas proposiciones son similares desde el punto de vista lógico, es decir, igualmente contradictorias. Lo que convierte a la primera en una paradoja es que la contradicción es menos evidente.

Así que, como primera aproximación, podríamos decir que una paradoja es una contradicción solapada. Pero ¿es siempre eso y sólo eso? Llamemos conjuntos ordinarios a los que no se contienen a sí mismos y conjuntos extraordinarios a los que se contienen a sí mismos; el conjunto de todos los conjuntos ordinarios ¿es ordinario o extraordinario? Si es ordinario, forma parte del conjunto de los conjuntos ordinarios, por lo tanto se contiene a sí mismo, por lo tanto es extraordinario... Esta paradoja de Russell, formalmente similar a la del barbero, obligó a revisar la teoría de conjuntos y las bases mismas de la lógica y la matemática. ¿Mera contradicción solapada? La cosa no es tan sencilla. A veces el efecto paradoja tiene que ver con la dificultad de definir conceptos tan escurridizos como “conjunto de conjuntos”; otras veces, con oscuras debilidades de nuestra forma de razonar. En cualquier caso, esas “verdades cabeza abajo” que son las paradojas refuerzan nuestras construcciones mentales haciendo que se tambaleen, nos hacen avanzar poniéndonos la zancadilla. Es la paradoja de las paradojas.