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Cazadores de primos

La búsqueda de cifras con propiedades especiales tiene aplicaciones en tecnología y criptografía 

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¿Qué lleva a alguien a dejar conectado su ordenador durante semanas mientras trabaja, mientras duerme en busca de números de millones de cifras? Pese a la apariencia extravagante de este pasatiempo, miles de personas lo practican desde que en 1996 dos antiguos estudiantes del MIT iniciaran la Gran Búsqueda en Internet de Primos de Mersenne (GIMPS, por sus siglas en inglés).

Descargando un programa de la web mersenne.org, cualquiera puede conectar su ordenador a una gran red de acceso libre, con el fin de que las potencias sumadas de muchos equipos den de vez en cuando con una nueva aguja en el pajar. Estas codiciadas agujas son números primos, es decir, aquellos que sólo son divisibles por sí mismos y por la unidad, que brillan sobre el fondo pajizo por su enorme tamaño y sus propiedades especiales.

La importancia de los números primos grandes radica en su papel determinante en la criptografía: el sistema de clave pública RSA, que garantiza la seguridad de todas nuestras operaciones bancarias, se basa en la observación de que es mucho más fácil multiplicar dos primos enormes que recuperarlos conociendo el resultado del producto. Hay quien considera que la búsqueda de los grandes primos es sólo una excusa para intentar desarrollar un hardware más potente, del mismo modo que la carrera espacial entre la antigua URSS y EEUU impulsó el descubrimiento de nuevas tecnologías y materiales.

Sin embargo, estas no son las únicas motivaciones en la caza de primos: hay quien lo hace por motivos estrictamente matemáticos. En palabras de Edson Smith, profesor de la Universidad de California en Los Ángeles, las razones 'son las mismas que llevan a la gente a subir montañas, navegar mares desconocidos o explorar el cosmos. ¡Es un reto! Además, a diferencia de los exploradores del pasado, nosotros podemos sentarnos en cómodas sillas de oficina mientras buscamos'.

Por supuesto, la gloria y los 150.000 dólares que ofrece la Electronic Frontier Foundation (una organización sin ánimo de lucro dedicada a la defensa de las libertades civiles en la era digital) a quien encuentre el primer primo de más de 100 millones de dígitos no son tampoco razones desdeñables para lanzarse a la caza.

Una mezcla de todas ellas condujo al experto noruego en tecnologías de la información Odd Magmar Strindmo a unirse al proyecto desde sus orígenes. Trece años después, tras haber probado más de 1.400 candidatos, el último cálculo antes de descubrir el nuevo primo tuvo ocupado a su procesador de 3 gigahercios durante 29 días. Se trata del número 242.643.801-1, con más de 12 millones y medio de cifras. Considerando que un ejemplar de Público tiene 56 páginas, harían falta los periódicos de dos meses para escribirlo entero.

La distribución de los números primos es una de las cuestiones que más han intrigado a los matemáticos de todas las épocas. Igual que en la física de partículas los quarks y los leptones son los constituyentes fundamentales de la materia, estos números representan los ladrillos básicos de la aritmética.

Ya Euclides en los Elementos, escritos hacia el año 300 a.C., demuestra que existen infinitos números primos. Pero, ¿cómo se distribuyen? ¿Cuál es su frecuencia? ¿Hay algún procedimiento efectivo para encontrar el siguiente primo a uno dado? Muchas conjeturas, como la que afirma que existen infinitas parejas de primos separados sólo por dos unidades (los llamados primos gemelos), siguen sin resolverse.

Otra de las preguntas sin respuesta es si existen infinitos primos de Mersenne, el tipo particular que interesa a los cazadores del GIMPS. Un primo de Mersenne es un número primo de la forma 2p-1, donde p es también primo. Su nombre honra al polifacético padre Mersenne (1588-1648), que estudió sus propiedades y enunció un buen número de conjeturas en su obra Cognitata physico-mathematica.

A pesar de su aspecto extraño, los números inmediatamente anteriores a las potencias de dos, sin necesidad de exigir que sean primos, aparecen en contextos muy variados. Por ejemplo, en el juego de las torres de Hanoi, cuyo objetivo es transferir una serie de discos de distintos tamaños de una estaca a otra, cuentan el número de operaciones necesarias para ganar.

Según la leyenda inventada como reclamo publicitario por su creador, el matemático francés Éduard Lucas, el fin del mundo llegará el día en que los monjes de Hanoi consigan colocar el último disco. Afortunadamente, los números de Mersenne son gigantescos...

Existe un criterio que permite a los ordenadores verificar si un número de esta forma es primo o no. Las primeras respuestas positivas se obtienen para 3, 7 y 31, pero a medida que aumenta el exponente, la cantidad de dígitos crece desmesuradamente. Se cree que existen infinitos primos de Mersenne, pero, incluyendo el de Strindmo, sólo se conocen 47 hasta el momento.

A pesar de su tamaño, el nuevo primo de Mersenne no es el más grande conocido, pues el hallado por Edson Smith en agosto del pasado año es mayor: 243.112.609-1 tiene casi 50.000 dígitos más. La duda continúa: ¿existen infinitos o llegará algún día en el que GIMPS toque la nota más aguda de la escala?