EL JUEGO DE LA CIENCIA // CARLO FRABETTI

* Escritor y matemático

Pudo Dios, como prólogo al diluvio universal, azotar con un viento global toda la superficie de la Tierra? No: la topología impone un límite a la cólera divina. Un viento omnipresente es un absurdo matemático, como un círculo cuadrado o un triángulo sin vértices. Igual que no se podría peinar una esfera peluda con todo el pelo alisado, sin formar ningún remolino, en todo instante ha de haber en la superficie del planeta al menos un lugar donde no sople el viento. Así lo exige el teorema del punto fijo, que no solo limita el poder de los dioses sino el del propio caos. Donde el orden parece totalmente abolido, a menudo la matemática encuentra un ojo del huracán, un punto fijo.

Consideremos, por ejemplo, este mismo periódico. Cuando está cerrado y apoyado sobre una mesa, cada hoja yace sobre la siguiente, borde con borde y vértice con vértice, de forma que cada punto de una está encima de su punto homólogo de la otra. Arranquemos la primera hoja (no te precipites, querido lector, se trata de un experimento mental), hagamos con ella una bola informe y depositémosla de cualquier manera sobre la que tenía debajo. El teorema del punto fijo demuestra que siempre habrá al menos un punto de la hoja estrujada que seguirá estando encima de su homólogo de la hoja intacta. Vayamos de A a B y al día siguiente, en el mismo intervalo horario, regresemos de B a A por el mismo camino. Aunque las velocidades de ida y vuelta sean distintas y arbitrariamente variables, aunque en ambos viajes hagamos paradas al azar, habrá un punto del camino por el que al volver pasaremos exactamente a la misma hora que al ir.

El teorema del punto fijo fue demostrado en 1910 por el matemático holandés L. E. J. Brouwer, que introdujo los conceptos de homotopía y grado de transformación, aunque la teoría de los puntos fijos fue formulada previamente por Poincaré y desarrollada posteriormente por Sperner. Sin embargo, es probable que algunos aspectos de la teoría fueran conocidos desde mucho antes, ya que no siempre requieren una formulación matemática compleja. ¿Podrían mis queridos lectores y lectoras demostrar, sin necesidad de números ni fórmulas, la veracidad de la afirmación relativa al segundo ejemplo del párrafo anterior? El caso planteado (ir de un lugar a otro a una hora determinada y al día siguiente regresar por el mismo camino a la misma hora) es bastante frecuente, por lo que más de una vez algún viajero habrá observado coincidencias aparentemente asombrosas. Y sin embargo inevitables.

La solución, la semana que viene.